Biri geometrideki en eski ve en basit problemler matematikçileri hazırlıksız yakaladı ve bu ilk kez değil.
Antik çağlardan beri sanatçılar ve geometriciler, şekillerin tüm düzlemi boşluklar veya üst üste binmeler olmadan nasıl döşeyebileceğini merak ettiler. Yine de, Rochester Üniversitesi’nden matematikçi Alex Iosevich, “yakın zamanlara kadar pek bir şey bilinmiyordu” dedi.
En belirgin döşemeler tekrar eder: Bir zemini kare, üçgen veya altıgen kopyalarıyla kaplamak kolaydır. 1960’larda matematikçiler, uçağı tamamen kaplayabilen, ancak yalnızca asla tekrarlanmayacak şekillerde garip karo setleri buldular.
New Jersey, Princeton’daki Institute for Advanced Study’de matematikçi olan Rachel Greenfeld, “Bu tür döşemelerin yapısını anlamak istiyorsunuz” dedi. “Daha ne kadar delirebilirler?”
Görünüşe göre oldukça çılgınca.
Bu tür tekrarlanmayan veya periyodik olmayan ilk model, 20.426 farklı karodan oluşan bir sete dayanıyordu. Matematikçiler bu sayıyı aşağı çekip çekemeyeceklerini bilmek istediler. 1970’lerin ortalarında, Roger Penrose (kara delikler üzerinde yaptığı çalışmalardan dolayı 2020 Nobel Fizik Ödülü’nü kazanacaktı), “uçurtma” ve “dart” olarak adlandırılan sadece iki taştan oluşan basit bir setin yeterli olduğunu kanıtladı.
Tekrar etmeyen kalıplar bulmak zor değil. Birçok yinelenen veya periyodik döşeme, yinelenmeyenleri oluşturmak için ince ayar yapılabilir. Diyelim ki bir satranç tahtası gibi hizalanmış sonsuz bir kareler ızgarası düşünün. Her satırı, üstündekinden farklı bir miktarda kaydırılacak şekilde kaydırırsanız, tam döşemeyi yeniden oluşturmak için bir pul gibi kesilip yapıştırılabilecek bir alan asla bulamazsınız.
Gerçek hile, Penrose’unki gibi tüm uçağı kaplayabilen, ancak yalnızca tekrarlanmayan şekillerde kiremit takımları bulmaktır.
İllüstrasyon: Merrill Sherman/Quanta Magazine
Penrose’un iki karosu şu soruyu gündeme getirdi: Tasarıya uyan, zekice şekillendirilmiş tek bir karo olabilir mi?
Şaşırtıcı bir şekilde, yanıt evet çıkıyor; döşemeyi kaydırmanıza, döndürmenize ve yansıtmanıza izin veriliyorsa ve döşemenin bağlantısı kesilmişse, yani boşlukları var demektir. Bu boşluklar, karonun diğer uygun şekilde döndürülmüş, uygun şekilde yansıtılmış kopyaları tarafından doldurulur ve sonuçta tüm iki boyutlu düzlemi kaplar. Ancak bu şekli döndürmenize izin verilmiyorsa, uçağı boşluk bırakmadan döşemek imkansızdır.
Gerçekten de, birkaç yıl önce, matematikçi Siddhartha Bhattacharya, ne kadar karmaşık veya incelikli bir karo tasarımı bulursanız bulunun, tek bir karonun yalnızca kaydırmalarını veya ötelemelerini kullanabiliyorsanız, o zaman tasarlamanın imkansız olduğunu kanıtladı. tüm düzlemi periyodik olarak değil, periyodik olarak kaplayabilen bir karo.
