Yüzyıllar boyunca matematikçiler sıvıların hareketini anlamaya ve modellemeye çalıştılar. Dalgaların bir göletin yüzeyini nasıl kırıştırdığını açıklayan denklemler, araştırmacıların hava durumunu tahmin etmelerine, daha iyi uçaklar tasarlamalarına ve kanın dolaşım sistemi boyunca nasıl aktığını karakterize etmelerine de yardımcı oldu. Bu denklemler, doğru matematik dilinde yazıldığında aldatıcı bir şekilde basittir. Bununla birlikte, çözümleri o kadar karmaşıktır ki, onlar hakkındaki temel soruları bile anlamlandırmak engelleyici derecede zor olabilir.
Leonhard Euler tarafından 250 yılı aşkın bir süre önce formüle edilen bu denklemlerin belki de en eskisi ve en önemlisi, ideal, sıkıştırılamaz bir sıvının akışını tanımlar: viskozitesi veya iç sürtünmesi olmayan ve daha küçük bir hacme zorlanamayan bir sıvı. Duke Üniversitesi’nden bir matematikçi olan Tarek Elgindi, “Neredeyse tüm doğrusal olmayan sıvı denklemleri bir şekilde Euler denklemlerinden türetilmiştir” dedi. “Onlar ilk olanlar, diyebilirsin.”
Yine de, ideal sıvı akışının her zaman doğru bir modeli olup olmadıkları da dahil olmak üzere, Euler denklemleri hakkında bilinmeyen çok şey var. Akışkanlar dinamiğindeki temel sorunlardan biri, denklemlerin bir akışkanın gelecekteki durumlarını tahmin edememelerine neden olan anlamsız değerler vererek başarısız olup olmadığını anlamaktır.
Matematikçiler, denklemlerin bozulmasına neden olan başlangıç koşullarının var olduğundan uzun süredir şüpheleniyorlar. Ama bunu kanıtlayamadılar.
Ekim ayında çevrimiçi olarak yayınlanan bir ön baskıda, bir çift matematikçi, Euler denklemlerinin belirli bir versiyonunun gerçekten de bazen başarısız olduğunu gösterdi. Kanıt, büyük bir atılımı işaret ediyor ve denklemlerin daha genel versiyonu için sorunu tamamen çözmese de, böyle bir çözümün nihayet ulaşılabilir olduğuna dair umut veriyor. Çalışmaya dahil olmayan Maryland Üniversitesi’nden bir matematikçi olan Tristan Buckmaster, “Bu harika bir sonuç” dedi. “Literatürde buna benzer bir sonuç yok.”
Sadece bir sorun var.
On yıllık bir araştırma programının sonucu olan 177 sayfalık prova, bilgisayarlardan önemli ölçüde yararlanıyor. Bu muhtemelen diğer matematikçilerin bunu doğrulamasını zorlaştırıyor. (Aslında, pek çok uzman yeni çalışmanın doğru çıkacağına inansa da, hâlâ bunu yapma sürecindedirler.) Bu aynı zamanda onları bir “kanıt”ın ne olduğu ve ne işe yarayacağına dair felsefi sorularla hesaplaşmaya zorlar. Bu, ileriye dönük bu tür önemli soruları çözmenin tek geçerli yolunun bilgisayarların yardımıyla olduğu anlamına gelir.
Canavarı Görmek
Prensip olarak, bir sıvıdaki her parçacığın yerini ve hızını biliyorsanız, Euler denklemleri sıvının her zaman nasıl gelişeceğini tahmin edebilmelidir. Ancak matematikçiler durumun gerçekten böyle olup olmadığını bilmek isterler. Belki bazı durumlarda, denklemler beklendiği gibi ilerleyecek ve herhangi bir andaki sıvının durumu için kesin değerler üretecek, ancak bu değerlerden yalnızca biri aniden sonsuza fırlayacaktır. Bu noktada, Euler denklemlerinin bir “tekilliğe” – veya daha dramatik bir şekilde “patlamaya” yol açtığı söylenir.
Bu tekilliğe ulaştıklarında, denklemler artık sıvının akışını hesaplayamayacak. Ancak “birkaç yıl öncesine göre, insanların yapabilecekleri, yapabileceklerinin çok ama çok gerisinde kaldı. [proving blowup]Princeton Üniversitesi’nden bir matematikçi olan Charlie Fefferman, “dedi.
Viskoziteye sahip bir sıvıyı modellemeye çalışıyorsanız (neredeyse tüm gerçek dünyadaki sıvıların yaptığı gibi) daha da karmaşık hale gelir. Clay Matematik Enstitüsü’nden bir milyon dolarlık Milenyum Ödülü, Euler denklemlerinin viskoziteyi açıklayan bir genellemesi olan Navier-Stokes denklemlerinde benzer başarısızlıkların olup olmadığını kanıtlayabilen herkesi bekliyor.
